Математика с нуля: чем интересно число 0?

Возвести в нулевую степень

С самыми простыми операциями проблем не возникает: прибавить ноль или вычесть его из числа — число остаётся тем же, умножить на ноль — получится ноль… Всё это укладывается в рамки здравого смысла. 

Сложнее становится при возведении в нулевую степень. В школе сообщают, что результатом в каждом случае будет единица. Откуда она взялась?

Тут рассудок уже пасует. Степень — это, как известно, то, сколько раз мы берём число как множитель самого себя.

2² = 2 ∙ 2 = 4 

2¹ = 2

Если степень нулевая, число не является множителем ни разу, но… как из этой пустоты «родилась» единица?

Чаще всего в школе этот вопрос решается догматически: на объяснения не остаётся желания и сил. А ведь именно здесь пролегает одна из границ, за которой простая арифметика, наглядно показываемая на яблоках и прочих исчислимых вещах, становится уже чистой и прекрасной абстракцией.

Вспомним правила обращения с числами, возводимыми в степень, и представим себе следующий пример:

В отношениях с одинаковыми основаниями степеней мы можем делать следующее:

Так вот чудесным образом, благодаря только принятию ноля как числа, мы переходим к новому странному открытию, и математика совершает куда более далёкий прыжок от реальности, чем просто представление «у меня ноль конфет».

Но именно внутренняя логика системы, которая может быть понята умом, но не может быть представлена в вещественном мире — это и есть красота абстракции.

Поделить на ноль

«Деление на ноль как секс — всем можно, а школьникам нет», — шутка может считаться остроумной, но в ней только доля правды. «Деление на ноль» давно стало интернет-мемом, правда, довольно неопределённым. То оно означает аннигиляцию чего бы то ни было (а ведь логичнее было бы умножить на ноль), то вовсе разрушение математических основ мироздания. И второе ближе к истине. 

Большинство учёных всё-таки считают эту операцию с нолём невозможной или обладающей неопределённым результатом.

Можете сами провести эксперимент, испытав подручные калькуляторы. Например, телефон на Android у автора материала дал ответ «1 / 0 = ∞», а Windows 10 выдал ошибку: «Деление на ноль невозможно». Большинство других калькуляторов ведёт себя так же. Зато в первом случае можно поменять знак, и мы получим странную картину: «-1 / 0 = -∞».

В чём же дело, и почему даже машины не могут между собой «договориться»?

Чисто арифметически делимость на ноль приводит к рискованным выводам. Смотрите сами:

Это лишь известное нам свойство ноля. Но если на него можно делить, то, сократив обе части, мы получим:

Почему же речь иногда заходит о бесконечности? Дело в том, что проблему пытаются решить через деление на бесконечно малую функцию, то есть построение графика функции, где х стремился бы к нулю. Так мы пытаемся найти y = 1 / x, и получается следующее:

И вот он, наш результат деления на ноль, который уходит в -∞ с одной стороны и +∞ с другой.

Чем же не устраивает этот ответ большинство учёных? Тем, что бесконечность не может быть названа числом: обычные арифметические операции с ней приводят, опять-таки, к парадоксальным выводам. Хоть на ней и построен математический анализ, она является идеей, а не числом.

Кстати говоря, с делением ноля на ноль наблюдается ещё большее единодушие: тут, если мы соберёмся построить функцию, результаты могут быть практически какими угодно (0, ±1, ±∞…)

В общем, ноль, оставаясь числом, снова подрывает основы математики, если мы нарушаем неприкосновенность его свойств.

Ноль — чётное число?

Если он так необычен (и не забываем, что он не является ни положительным, ни отрицательным), можно ли говорить о его чётности? Интуитивно мы догадываемся, что он чётный, ведь целые числа сменяют друг друга именно по такому принципу: 2 — чётное, 1 — нечётное, следующим должно быть снова чётное. Но странность ноля настораживает, подсказывает, что и в этом вопросе нужно держать ухо востро.

Какое главное требование он должен пройти в этом случае? Деление на двойку без остатка, и он выдерживает испытание с достоинством: 0/2=0. Получается целое число 0, причём сколько бы мы ни продолжали деление, результат будет получаться одинаковым — можно сказать, что он является «наиболее» чётным или «бесконечно» чётным числом.

Если быть более точным, мы должны взять другое определение с обратной операцией. Чётное число может быть представлено в виде 2x, где x — целое число, но и в таком случае всё просто: 0 = 2 ∙ 0.

Есть и такое свойство чётных чисел, что при сложении двух из них должно получаться снова чётное, проверим:

При всей необычности ноля даже его удивительное соответствие всем критериям кажется странным, не так ли?

Что смотреть и читать о ноле?

Чтобы узнать больше о ноле как об одном из самых загадочных явлений математики, а также об истории его «открытия», вы можете обратиться к следующим ресурсам:

1.  Numberphile. Это популярнейший в среде любителей математики Youtube-канал, у которого уже более чем 1,5 миллиона подписчиков. Есть видео и о ноле в переводе на русский.

2.  Книга Чарльза Сейфе «Ноль. Биография опасной идеи». Автор, хоть и не без излишнего сгущения красок, рассказывает об истории ноля как числа и цифры — причем в обширном контексте истории науки, от Архимеда до теории струн. В качестве бонуса вы получите приложения с задачками, где используется ноль. Например, вам предложат доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой, и построить машину времени из кротовой дыры.

3. Сборник эссе, в которых фантаст Айзек Азимов рассказывает о том, как человек, переходя от счёта на пальцах ко всё более сложным вычислениям, разработал основные математические операции, а также о том, как числа связаны с нашим восприятием времени и пространства. Природе ноля и его парадоксам посвящена открывающая книгу статья "Nothing Counts".

Также интересно: История чисел: что значили числа в глубокой древности  

Числа Фибоначчи

Даже если вам не нравились в школе ни арифметика, ни алгебра, у вас всегда есть возможность ими заинтересоваться. Учить математику с нуля уже не получится — худо-бедно мы начали считать ещё дошколятами. А вот полюбить её с нуля — вполне реальная перспектива.опубликовано econet.ru